移动网格方法及其应用

移动网格方法是网格自适应方法的一种。网格自适应现在主要有三种方法：为

h-方法：这个方法通过网格的加密与稀疏的方法来实现自适应；

p-方法：这个方法通过在局部增加和减少基函数的方法来自适应；

r-方法：这就是移动网格方法，通过修改网格点的位置来自适应；

移动网格方法的框架是选取一个参考区域，构造参考区域和实际问题的物理区域之间的某种映射，将参考区域上的均匀网格映射成为物理区域上的非均匀网格。一个被称为控制函数的量，作为我们构造这个区域间映射的参量，从而，通过调整控制函数，我们就可以操纵网格。

移动网格方法中的一个主要问题就是网格会发生缠绕。我们研究的方法主要是使用调和映射来构造网格映射，调和映射的优秀性质保证了网格在理论上的存在唯一性。进一步我们引进一个迭代过程来实现调和映射，消除数值原因可能造成的网格缠绕。网格移动的过程和方程求解完全分开。

对于解函数从旧网格到新网格上的更新，我们构造了一个来源于解法的全局插值方法，使得网格的移动和方程原有的求解格式完美配合，但是在实现上又是完全分开的，有利于代码重用，使得我们能够开发出来一个通用的网格移动程序包。这样的整体插值方案可以看出事实上是求解了一个人工对流方程，在不可压流体和间断Gerlerkin方法中的运用得到了新颖的结果。

由于很多问题的奇异性往往出现在边界上，所以边界上的网格的移动是一个比较重要的问题。以前的方法常常是将边界的网格和内部的网格分开来处理。我们提出了一个新的能量泛函，在极小化这个能量泛函的情况下，构造了一个调和映射的推广，使用这个映射来构造参考区域和物理区域之间的网格变换，使得边界上的网格和内部网格耦合移动，网格的质量得到进一步的提高，并能够顺利使用到三维的情况。

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